正文卷 第686章无尽路途，不可达基数(十分艰涩，谨慎观看)

(穿越小说 www.kk169.org)    在翻阅了那已然陨落的三个世界基数级玄掌的记忆之后，穆苍便获晓。

    那盘踞于这片广袤疆域群落中的无穷尽玄掌，其实并非群龙无首各自为战，而是存在着一个实质意义上的最高统领。

    这位的总揽此方疆域群落一切军务及权力的统领，在掌道者文明的职位体系中，即唤作「镇陲总督」。

    这个称呼，顾名思义便是指镇守边陲地带的总督之意。

    而这位总督，在那仨玄掌的记忆里，就恰恰是一尊货真价实的不可达基数级掌道者。

    同时，这位总督亦是此方疆域群落，唯一的不可达基数级玄掌。

    并且，是强不可达基数。

    除却这位总督之外，其他所有玄掌则都为世界基数级，或者说都处在世界基数这个庞大的基数范畴里。

    这，也是完全可以理解的。

    姑且不论那不可达基数的伟岸与遥远，要知道单单在那世界基数范畴内，就完全可以划分出无穷无尽之层次，且每一层次间的差距，亦是无限无数无边无际。

    那么这所谓的〖无限无数无边无际〗，到底又有多大呢？

    可以这样理解。

    如果说，从最小的无穷——??启程出发，抵达至首个世界基数wc的路途有多么遥远多么漫长。

    那么从首个世界基数wc出发，到达那1-世界基数wc的路途，就同样有多么遥远多么漫长，甚至更遥远更漫长。

    为什么会这样呢？

    因为那1-世界基数wc的本质，即是在某座ZFc公理系统模型已引入首个世界基数wc公理模型的基础上，再次通过种种极尽复杂的方式，达到那可以再度封装成为ZFc模型的高度。

    同样的道理，从那n-世界基数到达n+1-世界基数的路途，或者从那x-世界基数到达x+1-个世界基数的路途，乃至从k-世界基数抵达那k+1-世界基数的路途，亦是一样的遥远与漫长。

    这些解释和类比，乍一看去确实有些让人难以理解。

    所以讲的再透彻一点，即是任何的大基数公理，其实都远远超越了ZFc公理系统模型本身的证明能力或者说统辖范围。

    如果用仙侠风腔调来描述，便是任何一个大基数都是一尊过于强大，强大到倘若仅仅依靠ZFc公理系统自身能力，绝无任何可能孕育而出的先天混沌魔神。

    因此，只有在被那名为大基数的混沌魔神入驻之后，‘白板’状态的冯·诺依曼宇宙V才能够达到更高的强度，以及拥有更加丰富多彩的性质。

    事实上，对于那无数的有穷、无穷、超穷位阶生命体来说，康托尔绝对无穷就约等于他们认知范围当中的所谓“全知全能”。

    可本身一致性强度已然等于乃至凌驾于康托尔绝对无穷的ZFc模型，在拥有了任意大基数公理之后，其强度居然还能够暴涨到那用不可思议都无法描述的更高层面。

    由此便可知那大基数的强度是有多么恐怖了，恐怖到甚至是用远远超越了所谓“全知全能”级别康托尔绝对无穷之倍数这类话语，都压根不足以形容。

    总之，当世界基数wc在引入w函数再根据ZFc的替换公理，然后通过进行类似?函数一样的sup操作，来不断提升等级之际，包含并容纳那世界基数wc的万有数学宇宙，亦会同样一齐不断攀升晋级。

    当这种晋阶真正呈现于具象实体世界之中时，那个数逻疆域便会如同一座通天塔般，在不断暴涨式扩展地基的同时，亦不断疯狂的堆高楼层，并且扩展与堆高的难度幅度永远都是那么恐怖。

    可这种攀升的方式，也是有其极限的，这一极限便是世界基数的不动点，也可称其为w函数的「世界点」。

    在此之上，也赫然存在着用‘数之不尽’这一词汇，都远远无法形容其具体数目的一个个世界基数不动点。

    但这些世界基数不动点都会被k=k?世界基数……即「伟大世界基数」死死拦截在下方。

    无论前面那所有世界基数互相之间的差距有多么巨大，对于伟大世界基数而言都是一样的渺小。

    因为这些世界基数的共尾数，俱都只有w。

    至于所谓的「共尾」则属于集合论当中一个重要数学概念，主要用于描述良序集无界子集以及序列的特性还有精细程度。

    说白了就是诸多递增序列在只能用a以下序数时，需要至少多少项才能够抵达，所以也可用「梯度」这种词汇来指称。

    而若是将伟大世界基数以下所有世界基数共尾度为w这一概念展开来讲，即是对于所有n∈N，最小∑n正确基数之序列便是k的下一个长度为w之基本列，同时对于任意一个n都可用∑n+1来描述某一∑n正确基数，因此其强度皆在ZFc公理模型范畴内。

    可是对于基本列整体而言并不存在某个∑m语句可以描述所有∑n，因为不存在大于所有自然数的自然数，所以k的这一基本列在Vk内部无法定义，于是便不能作为一个集合适用于替换公理，此基本列必须要在ZFc模型之外，即Vk+1中才能够被定义。

    总之，在一系列世界基数不动点之上的便是伟大世界基数，可同样在伟大世界基数之上亦有无穷无尽无限无数个w函数不动点，并且这些互相间距离无比遥远的不动点，也都拥有同一个共尾数。

    所以到了这一层面后，亦可以极为粗糙的将共尾数，视作为不同层次间的强度度量衡量标尺。

    而距离这共尾w的一系列所有世界基数‘最近’的更高共尾数层面，便是与??等势的w1。

    在此之上，还有与??等势的w?、与???等势的w??、与????等势的w???……等等各类各样差距更是巨大到了完全没有边的共尾数。

    这些具备不同共尾数的各类世界基数，亦通常会被命名为带有各种复杂前缀名或者后缀名的称呼。

    并且，被这些各级各阶每一个共尾数所‘统治’的庞大‘领土’之内的那些个各级各阶世界基数互相之间，亦会存在有无穷无尽复无尽无穷恐怖到无法言说无法形容的巨大差距。

    而若想要跨越这一重又一重天渊之距，则又会牵涉到所谓「无界闭集」的数学概念。

    关于此概念，还有一个较为简单的名为「无界集合」的前置型概念。

    对于此概念若举例说明便是，譬如位于w范畴内的自然数在w中无界，又因w=N，所以N便是w的无界非真子集。(「无界」概念的具体定义详见677章)

    既然存在‘非真’，那么就肯定会存在‘真’。

    譬如，对任意n∈w仍有n+1∈w，无存最大自然数，所以全体正偶数便是w的真无界子集。

    这个概念比较简单，但在此之上的「无界闭集」概念就要考虑的多…不是，是复杂的多了。

    还是举例说明。

    譬如，若c是x无界子集，对所有极限序数呈a

    如果将这段话展开来讲，便可以认为对于那一系列a∈c所取的极限点，结果仍在c当中，也就是说c对于取极限点这一操作完全封闭，求取c中一系列元素的sup也仍然留存于c中。

    所以，无界闭集的性质就像一把全无尽头的过滤网，可不断滤选出愈来愈极限的‘元素’，但却永远不会跑出集合范围。

    总之，通过使用包括「无界闭集」在内的诸多‘工具’，沿着那贯穿一整个世界基数的漫长共尾数‘路径’，便可以直通不可达基数。

    那么……不可达基数的共尾数，又会是什么呢？

    答案便是……它自身。

    是的，就如同神话传说当中代表着「永恒完美」「无限循环」以及「自有永有」等等至高概念的那一条用自己嘴巴咬住自己尾部类似莫比乌斯环带的衔尾之蛇一般，首个不可达基数其共尾数……赫然也是不可达基数。

    首个不可达基数，即是一种在ZFc公理系统模型基础上加上相应不可达基数公理后，才能够存在的既是强极限基数又是正则基数的不可数基数。

    所谓正则基数，意指的便是共尾数等同于自身的基数。

    用数学语言来表达，即是cf(k)=k。

    这里的cf(k)，便是以k为上确界的递增序列的最小长度。

    cf可以定义在所有序数上，但正则序数却必然是基数。

    这里的“^”是基数乘方之意，因而此数式之意即是k无法通过小于k的基数取幂集来达到。

    同理则可得，w即是一个强极限基数，因为有限集合之幂集必然还是有限集合。

    又因为w也是正则基数，所以也可以说，倘若不要求「不可数」这一必要条件的话，那么w就属于是最小的不可达基数。

    想想看，与w相比无论1还是ScG(3)其实都没有什么分别，由此可见从那下方的自然数当中任意一点往上攀爬，都永远无法抵达w。

    所以从正则性和极限性来看，w和w之下的一切有限数比起来，就等于是有与无的关系，完全属于概念上的断层。

    当然，w和不可达基数相比只是某种意义上的‘明星脸’而已。

    真正的不可达基数下方，是有着无界多世界基数层级的，远比想象之中还要更为遥远与深邃，强度亦是断层式的庞大。

    许多知性生命都有一个极为不严谨的认知，即是认为……如果说w是阿拉伯数字堆不出来的上确界，那么首个不可达基数应该便是阿列夫函数堆不出来的上确界。

    但这个认知是错误的，不可达基数远比这个认知要巨大的多的多的多。

    若用真正的数学语言来表达，即是……对于极限序数a，有cf(?a)≤a，又因a≤?a，因此若?a为弱不可达基数，那么cf(?a)=a=?a。

    至于更高的强不可达基数，则是在弱不可达基数的基础上，增加了一个条件或者说要求。

    即是……对于任意基数λ＜k，有2^λ＜k。

    这列数式表达之意，便是若k为弱不可达基数，且满足上面要求，那么就可升为强不可达基数。

    此话当中的「强弱」即指范围之意，「弱」指代的是要求低、范围广，「强」则指代的是更具体明确了为何该大基数不可到达。

    由强不可达基数的定义便可知，它一定是弱不可达基数，即必然是正则且不可数的极限基数。

    根据康托尔定理，对于任意基数λ，有λ＜2^λ恒成立，这表示可通过不断取幂集之方式来获得更大的基数。

    但不可达基数则是说，若k是强不可达基数，那么无论从比它小的哪一个基数λ＜k开始，无论如此取幂集2^λ，都无法达到k。

    最终就可以证明，如果k是强不可达基数，则对于任意序数a＜k，所以就有2^?a＜k。

    而那位镇陲总督，恰恰就是一尊……强不可达基数级掌道者。

    “所以……”

    穆苍摩挲着下巴轻笑道，“那个劳什子总督，到底会有多强大呢？”

    怀揣着好奇，穆苍一步就踏出了自己所在的哥德尔可构造宇宙，通过那隐匿而复杂的疆界路径，踏足到了另一方冯·诺依曼宇宙当中。

    而在祂这一尊‘活体’世界基数公理离开之后，原先那座哥德尔可构造宇宙就刹然跌落到了普通真类层次，变的平庸无奇。

    与此相反的是，那一座有幸被穆苍所踏足的万有宇宙真类疆域，则瞬然位阶疯涨蓦地达到了世界基数级。

    这种神奇的现象，便是【无绝秘策】的逆天威能所造成的可怖结果。

    完全不需要穆苍自己启动「万用至理」，此逆天神技自行就会将其脚下所踏之疆域的最高主导权，强行纳入到了祂的掌控之中。

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